Основы математического анализа (2145,00 руб.)

Стр.5

Стр.6

Стр.7

Стр.8

УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 Л89 Рукопись подготовлена в рамках грантового проекта НИУ ВШЭ по изданию авторских учебников Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова В. И. Богачев Л89 Львовский, Сергей Михайлович. Основы математического анализа / С. М. Львовский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 370 с. — Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2022. — (Учебники Высшей школы экономики). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный. ISBN 978-5-7598-2405-3 В основе этого продвинутого учебника по математическому анализу — курс, который читался автором на факультете математики Высшей школы экономики. Представленный в книге материал имеет ряд отличий от традиционных курсов. Так, ряды вводятся сразу же после определения предела последовательности; в книгу входит экскурс в элементарную теорию множеств (включая лемму Цорна и ее применения) и в общую топологию (включая канторово множество и p-адические числа). Заметное место в учебнике уделено анализу на многообразиях, включая дифференциальные формы, теорему Стокса и теорему Фробениуса. Учебник будет полезен студентам младших курсов математических специальностей, преподавателям математики, а также всем интересующимся этой наукой. УДК 517(075.8) ББК 22.161я73 Электронное издание на основе печатного издания: Основы математического анализа / С. М. Львовский ; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». — Москва : Изд. дом Высшей школы экономики, 2021. — 368 с. — (Учебники Высшей школы экономики). — ISBN 978-5-7598-1183-1. — Текст : непосредственный. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации. ISBN 978-5-7598-2405-3 © Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», 2021

Стр.5

ОГЛАВЛЕНИЕ Пpедисловие . ........................................................................................... 8 Глава 1. Введение в анализ. ................................................................... 9 1.1. Предел последовательности . ......................................................... 9 1.2. Множества. ..................................................................................... 14 1.3. Множества (продолжение) . ........................................................... 20 1.4. Некоторые классические пределы . ............................................... 24 1.5. Ряды. ............................................................................................... 31 1.6. Построение действительных чисел . ............................................. 39 1.7. Свойства полноты действительных чисел . ................................... 45 1.8. Некоторые следствия изсвойств полноты . ................................... 48 1.9. Ряды с произвольными членами. ................................................... 53 1.10. Упражнения . ................................................................................... 56 Глава 2. Производная; элементарные функции . ................................... 63 2.1. Определение и простейшие свойства производных. ..................... 63 2.1.1. Предел функции. ................................................................... 63 2.1.2. Производная . ......................................................................... 66 2.2. Непрерывные функции . ................................................................. 71 2.3. Степень с рациональным показателем, экспонента, логарифм . ... 74 2.4. Исследование функций с помощью производной . ....................... 82 2.5. Тригонометрия. ............................................................................... 85 2.6. Вторая производная и выпуклость . ............................................... 91 2.7. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора . ............... 95 2.8. Нахождение пределов . .................................................................. . 107 2.9. Упражнения . .................................................................................. . 111 Глава 3. Элементарные понятия топологии . ........................................ . 115 3.1. Отношения и лемма Цорна. .......................................................... . 115 3.2. Топологические пространства. ...................................................... . 121 3.3. Непрерывность и пределы . .......................................................... . 129 3.3.1. Пределы и непрерывность в метрических пространствах . . 130 3.3.2. Общее определение предела . .............................................. . 134 3.4. Компактность . .............................................................................. . 135 3.5. Связность. ...................................................................................... . 143 3.6. Полнота и пополнение . ................................................................ . 148 3.7. p-адические числа и канторово множество . ................................ . 151 3.8. Канторово множество . .................................................................. . 156 3.9. Упражнения . .................................................................................. . 163 5

Стр.6

Оглавление Глава 4. Интеграл . ................................................................................ . 167 4.1. Равномерная сходимость; равномерная непрерывность. .............. . 167 4.2. Интеграл от кусочно-непрерывной функции . .............................. . 171 4.3. Неопределенный интеграл . .......................................................... . 179 4.4. Некоторые классы функций, интегралы которых — также элементарные функции . ...................................................................... . 183 4.5. Почленное дифференцирование . .................................................. . 189 4.6. Несобственные интегралы . .......................................................... . 192 4.7. Упражнения . .................................................................................. . 198 Глава 5. Функциональные ряды . .......................................................... . 202 5.1. Равномерная и нормальная сходимости . ...................................... . 202 5.2. Аналитические функции. .............................................................. . 209 5.3. Разложение элементарных функций в ряды . .............................. . 219 5.4. Теорема Стоуна–Вейерштрасса . .................................................. . 226 5.5. Упражнения . .................................................................................. . 232 Глава 6. Кратные интегралы . ................................................................ . 234 6.1. Определение кратного интеграла . ................................................ . 234 6.2. Интегралы по открытым подмножествам. .................................... . 240 6.3. Упражнения . .................................................................................. . 247 Глава 7. Дифференцирование функций нескольких переменных . ...... . 249 7.1. Конечномерные нормированные пространства. ............................ . 249 7.2. Производная в многомерном случае. ............................................ . 251 7.3. Высшие производные . .................................................................. . 256 7.4. Исследование функций на экстремум . ........................................ . 259 7.5. Упражнения . .................................................................................. . 261 Глава 8. Теоремы онеявнойиобратнойфункциях иих приложения 264 8.1. Теорема об обратной функции . .................................................... . 264 8.2. Теорема о неявной функции . ........................................................ . 268 8.3. Замена переменной в определенном интеграле . .......................... . 274 8.4. Упражнения . .................................................................................. . 280 Глава 9. Абстрактные многообразия и векторные поля. ...................... . 282 9.1. Абстрактные многообразия. .......................................................... . 282 9.2. Касательные пространства . .......................................................... . 285 9.3. Векторные поля: алгебра . ............................................................ . 291 9.4. Теорема Арцел´а–Асколи и дифференциальные уравнения . ........ . 302 9.5. Векторные поля: геометрия . ........................................................ . 308 9.6. Упражнения . .................................................................................. . 313 6

Стр.7

Оглавление Глава 10. Дифференциальные формы и интегрирование на многообразиях . .............................................................................................. . 316 10.1. Интегрирование плотностей . ........................................................ . 316 10.1.1. Разбиение единицы . ............................................................ . 318 10.2. Дифференциальные формы. .......................................................... . 321 10.2.1. Формы степени 1 . ................................................................ . 321 10.2.2. Интегрирование 1-форм. ...................................................... . 323 10.2.3. Немного линейной алгебры . ................................................ . 326 10.2.4. Формы произвольной степени . ............................................ . 327 10.3. Неформальная формулировка теоремы Стокса . .......................... . 331 10.4. Интегрирование форм по многообразиям . .................................. . 332 10.4.1. Ориентация многообразия . .................................................. . 332 10.4.2. Многообразия с краем. ........................................................ . 337 10.4.3. Теорема Стокса . .................................................................. . 338 10.5. Классический векторный анализ. ................................................ . 340 10.6. Сингулярные симплексы . .............................................................. . 346 10.7. Понятие о когомологиях де Рама . ................................................ . 350 10.8. Теорема Фробениуса . .................................................................... . 354 10.9. Упражнения . .................................................................................. . 360 Предметный указатель. .......................................................................... . 364

Стр.8